[Ö] Funktionsteori

Alla Inga Spara

• Vad innebär att en funktion är holomorf i ett omårde? funktionen är komplext deriverbar I och KRING punkterna
• Vad gäller om: f holomorf på omr. Ω och f'(z) = 0 på Ω? f konstant på Ω
• Alla sammansättningar av elementära funktioner är kontinuerliga på dess definitionsmängd. Definiera: kontinuitet (f kont. i z=a) ⇔ (f(a) = f(z); z→a)
• Om derivatans definition uppfylls för alla möjliga komplexa "gränsvärdesvägar" är funktionen holomorf i punkten. Återge: derivatans definition f'(z) = ( f(z+h)-f(z) )/h; h→0; h∈C
• Om: f(x+iy) = u(x, y) + i*v(x, y) och u, v kont. deriverbara gäller det att: (f holomorf) ⇔ (C-R. ekvationer uppfyllda). Återge: Cachy-Riemanns ekvationer ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = (-∂v/∂x)
• Vad gäller om: f holomorf och u eller v känd? den andra av u, v bestämd sånär på konstant av C-R. ekv.
• Hur omskrivs f(x+iy) till f(z)? identitetssatsen ger: 1. sätt y=0, 2. sätt x=z
• Definiera: harmonisk funktion, f Δf = ∇^2 = (∂^2 f/∂x ^2) + (∂^2 f/∂y ^2) = 0
• Vad gäller för u(x, y) och v(x, y) för att f ska kunna vara holomorf? u, v måste vara harmoniska
• Definiera: argumentet, arg(z) mängden y för ett komplext tal: e^x(cos(y)+i*sin(y))
• Definiera: komplexa logaritmen, log(z) log(z) = ln|z| + i*arg(z)
• Vad är skillnaden mellan Arg(z), Log(z) och deras motsvarigheter arg(z), log(z)? stor bokst.: funktion m. inskränkt def.mängd, liten bokst.: flervärd
• För att få en funktion av flervärda funktioner som arg(z) och log(z), måste deras definitionsmängder inskränkas. Vilka är de 2 vanligaste sätten/"grenarna"? principial: C\[0, ∞), texas: C\[0, -i*∞)
• Vad bör man tänka på angående logaritmlagarna? alla gäller ej om passerar över def.mängd "skåran"
• Definiera: komplexa cos(z) och sin(z) cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2, sin(z) = (e^iz - e^-iz)/2i
• Återge: ML-olikheten ( |f(z)| ≤ M och L längd av γ ) ⇒ |∫γ f(z) dz| ≤ ML
• Vad gäller för en holomorf funktions derivata derivatan är också holomorf
• Primitiver kan användas för att beräkna komplexa kurvintegraler. Har alla holomorfa funktioner en primitiv? nej, enbart holomorfa har primitiv MEN ej alla holomorfa
• Återge: Cachys integralsats för område Ω (f holomorf på/kring Ω, ∂Ω) ⇒ ( ∮∂Ω f(z) dz = 0 )
• Hur fungerar Cachys integralsats för områden med flera rand-delar? likt Greens formel, omr. alltid på vänster sida
• Vad ger Cachys integralsats om f är holomorf på ett enkelt sammahängande område? att f har primitiv
• Återge: Cachys integralformel för område Ω med rand, ∂Ω, av positivt orienterade kurvor? (f holomorf på/kring Ω, ∂Ω) ⇒ ( f((p) = (1/2πi * ∮∂Ω f(z)/(z-p) dz )
• Det gäller att: (f begränsad) ⇔ (∃M∈R; |f(z)| ≤ M). Återge: Liouvilles sats (f holomorf, begränsad på C) ⇒ (f konstant)
• Definiera: monoton (finns även "strängt monoton") växande ELLER avtagande
• Definiera: supremum, sup() minsta övre begränsningen till funktion/talföljd
• Hur löses en lineär rekursionsekvation? 1. Hitta homog.lösn., 2. hitta part.lösn, 3. lös ut eventuella konstanter
• Definiera: harmoniska serien k=1∑∞ 1/k = 1+1/2+1/3+..., vilken är divergent
• Återge: formeln för geometrisk serie (första termen)/(1 - kvoten)

Alla Inga Spara