[Ö] Flerdimensionell Analys

Alla Inga Spara

• Definiera nivåkurva/yta. f(x, y) = c eller f(x, y, z) = c; c är konstant
• Definiera parametrisering. yta beskriven av: (x, y, ...) = φ(a, b, ...); där a, b, ... är parametrar
• Tänk över hur cylinder och polära koordinater fungerar/definieras. (har tänkt över)
• Definiera riktningsderivatan, df(a̅)[e̅], för funktionen f, i punkten a̅, i riktningen e̅. df(a̅)[e̅] = g'(0); g(t) = f(a̅+te̅)
• Definiera differentialen, df(a̅)[e̅]. Riktningsderivatan till f i given punkt som funktion av riktningen e̅
• Vilka 3 regler gäller för differentialen? 1. lineäritet, 2. produktregeln, 3. kedjeregeln
• Definiera partiella derivator. Derivata där alla variabler utom den givna hålls konstant
• Tänk över hur differentialen blir för funktioner med flera variabler SAMT för vektorvärda funktioner. (har tänkt över)
• Differentialen är en lineär avbildning av kolonnverktorn som anger riktningen. Hur kan denna matris bildas? av funktionens partiella derivator
• Vilket krav finns på differentialen - dvs varför kan inte alla funktioner av riktningsderivatorna användas? differentialen är definierad som LINEÄR
• Återge kedjeregeln i flerdim. d(f̅(g̅)) (a̅) [e̅] = df̅ (g̅(a̅)) [ dg̅(a̅)[e] ]
• Återge satsen om differentierbarhet för en funktion f. om def.mängd öppen och kontinuerlia part.deriv --> diff.bar
• Definiera operatornormen, IIAII, för matris. största längdförändringen vid avbildning med matrisen
• Hur hittas tangentplan, i punkt (a, b), till: funktionsyta z = f(x, y)? z = f(a, b) + df(a, b)[(x, y) - (a, b)]
• Hur hittas tangentplan, i punkt (a, b), till: nivåyta f(x, y) = c? ∇f ger normalvektor --> bilda plan i punkten (a, b)
• Hur hittas tangentplan, i punkt (a, b), till: parametriserad yta? kryssprod. av partiella derivator ger normalvektor till tangetplan
• Definiera gradienten, grad(f) / ∇f. differentialen som vektor, i riktning där f växer som snabbast
• Hur förhåller sig nivåkurvor/ytor med gradienten till en funktion f? ∇f vinkelrät mot nivåkurvan/ytan, dvs går rakt ut från dem
• Hur hittas vägen med brantast stigning för funktion f(x, y) från punkt (a, b)? låt d/dt(x(t), y(t)) = λ(t) * ∇f(x(t), y(t)); dvs funktion alltid parallell med ∇f
• Återge inversa funktionssatsen för funktion f. f:s differential är inverterbar i a̅ --> f inverterbar i öppet intervall kring a̅
• Återge varför implicita funktionssatsen används. vill se om f(x, y,...) = c låter någon variabel beskrivas som funk. av andra
• Återge hur implicita funktionssatsen används i praktiken. antag beskrivandet av variabel i andra går --> derivera --> får krav för detta
• Definiera C^k. funktioner med kontinuerliga partiella derivator av ordning k
• Vad gäller för partiella derivator av ordning k till en funktion i C^k (på ett visst intervall)? kan byta ordning på partiella deriveringarna
• Definiera kvadratiska former. polynom där alla termer har grad 2, ex: x^2 + xy + z^2
• Hur kan alla kvadratiska former skrivas? x^T*Q*x; Q symmetrisk matris
• För kvadratisk form, definiera: positivt definit positiv överallt, endast 0 i origo
• För kvadratisk form, definiera: negativt definit negativ överallt, endast 0 i origo
• För kvadratisk form, definiera: positivt semidefinit positiv/noll överallt, 0 inte bara i origo
• För kvadratisk form, definiera: negativt semidefinit negativ/noll överallt, 0 inte bara i origo
• För kvadratisk form, definiera: indefinit kvad.form kan vara BÅDE positiv och negativ
• Vilka 2 metoder finns för att avgöra en kvadratisk forms karaktär? 1. kvadratkompletering, 2. diagonalisering/egenvärden
• Vad gäller för en kvadratisk forms egenvärden och dess karaktär? enbart positiva (resp. negativa) egenvärden ger positivt (resp. negativt definit)
• Vad gäller för egenvärden λ och en matris, A:s, determinant och spår? det(A) = λ1*λ2, tr(A) = λ1 + λ2
• Definiera en matris spår, tr(A). summan av diagonalelementen
• Definiera: stationär punkt (a, b) ∇f(a, b) = 0̅
• Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: positivt definit lokalt minima
• Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: negativt definit lokalt maxima
• Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: positivt/negativt semidefinit semidefinit ger ingen information (--> använd annan metod)
• Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: indefinit sadelpunkt
• Återge Tarlorutvecklingen av ordning 2 av f(x̅) kring punkten a̅. f(x̅) = f(a̅) + df(a̅)[x̅-a̅] + (1/2)*[x̅-a̅]^T*f''(a̅)*[x̅-a̅]
• Vilka 2 saker får man ej glöma vid Taylorutveckling av ordning 2? 1. dela på 1/2 för kvad.formen, 2. [x̅-a̅] är input i diff. och kvad.formen
• Definiera: Hessianen matrisen med en funktions alla partiella derivator av ordning 2
• Hur löses partiella differentialekvationer med kända variabelbyten? beräkna nya part.deriv. med kedjeregeln --> substituera in i ekvationen
• Definiera: kompakt område slutet område på vilken funktionen är begränsad
• Vad gäller för funktioner och kompakta områden? funktionen kommer ha största/minsta värde där
• Hur optimeras funktion på kompakt område? (Dvs var hittas potentiella max/min?) 1. stationära punkter i omr., 2. på randen
• Hur undersöks ett kompakt områdes rand? 1. parametrisering, 2. se randen som bivillkor
• Hur optimeras funktion på icke-kompakta områden? bilda kompakt område --> låt randen gå mot ∞ (visa blir ej större på randen)
• Hur optimeras funktion, f, med bivillkor g=0? i max/min gäller: ∇f II ∇g (för skärningar: ∇f, ∇g1, ∇g2 är lin.beroende)
• Hur definieras dubbelintegralen över ett område? "volymen under funktionsytan på området"
• Vad gäller för funktioner som är kontinuerliga på slutet område de är integrerbara där
• Hur kan en area av ett område ges? ∫∫ 1 dx dy
• Vad måste man göra vid variabelbyte? 1. ändra område, 2. multiplicera abs av med funktionaldeterminanten
• Hur beräknas generalliserade integraler som ej växlar tecken? bilda område, vars storlek låtes gå mot ∞
• Hur beräknas generalliserade integraler som växlar tecken? dela upp i områden, båda måste konvergera för att hela ska konvergera
• Återge kedjeregeln för funktionalmatriser. f'(t) = f'(g(t)) * g'(t)
• Skriv om: sin^2(x) (1-cos(2x))/2
• Skriv om: cos^2(x) (1+cos(2x))/2

Alla Inga Spara