Funktionsteori
Funktionsteori - en övning gjord av Pontusnord på Glosor.eu.
1. Vik bak högra delen av pappret så att svaren inte syns.
2. Skriv ner svaren på frågorna i utrymmet under dem.
3. Vik tillbaka pappret och rätta genom att jämföra med svaren till höger.
sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y) sin(x-y)
C₁*r₁ⁿ+C₂*r₂ⁿ Homogenlösning för enkelrötterna r₁ och r₂. x_ⁿ=
(|) Kriterier för Libniz test (1-3). Partialsumman aₓ aₓ alternerande, |aₓ| avtagande, aₓ->0 då k->oo
ln(|z|)+iarg(z) (|) log(z)=
D (K = konvergent serie, D = divergent serie) K+D=
J J =jämn funktion, U =udda funktion: J*J=
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) cos(x+y)=
(a k)= a!/k!*(a-k)!
lim x->oo(sup(|fₓ-f|))=0 Ekvation för likformigt konvergent. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie
Om f är holomorf på hela C och är begränsad. Då måste f vara konstant
4*|an/bm|*|z|^n-m |R(z)| ≤
(C₁+n*C₂)*rⁿ Homogenlösning för dubbelrot r. x_ⁿ=
1/(1+x²) D(arctan(x))=
|uₓ(x)|≤Mₓ (|)Weiestrass M-test: Sum(Mₓ) konvergerar. Sum(uₓ(x)) konvergerar likformigt om
C*(1-r^N+1)/(1-r) Geometrisk summa; Sum(C*r^k, k=0..k=N)=
Fourierserier, vänste och högerderivator existerar i x =t. FS = 1/2*(f(t+0)+f(t-0))
(|)Definitionen av en pol av f(z) i punkten c lim z->c(|f(z)|)=oo
Skriv som sinus av x; k st vanliga perioder över 2π = sin(k*x)
Om a inte är uppåt begränsad så säger vi att sup M = oo
singularitet Konvergensradien för en holomorf funktion är närmaste avståndet till en
Om f(z) har en hävbar singularitet i z=c Res z=c(f(z))= 0
vet ej (K = konvergent serie, D = divergent serie) D+D=
L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) < +oo. Och bₓ konvergent => aₓ konvergent
cos(x-y) cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y)
1/4*|an/bm|*|z|^n-m ≤|R(z)|
K (K = konvergent serie, D = divergent serie). K+K=
f=lim x->oo(fₓ) Ekvation för punktvis konvergens. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie
betingat konvergent Kallas en serie om den är konvergent men ej absolutkonvergent.
Om en kurvintergral är noll och inte överskrider dess poler är kurvan XX och f YY på hela området (XX, YY) sluten, holomorf
analytisk Kallas en funktionsserie om det för varje punkt existerar en potensserie med positiv konvergensradie
e^a*log(z) z^a=
Om lösningen till den inhomohena ekvationen är en dubbelrot så multiplicerar man in n²
CauchyRiemans ekvationer f(x, y)= u(x, y)+iv(x, y) (ekv 1, ekv 2) u'x=v'y, u'y=-v'x
≤π/a*max|f(z)| Jordans lemma: |I(f(z)*e^iat)|
Varje absolutkonvergent serir är konvergent
sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
Tillvägagångs sätt för att skrivaom f(x, y) till f(z). Sätt y=0 och x=z
J J =jämn funktion, U =udda funktion: U*U=
divergent L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) > 0 Och bₓ divergent => aₓ
U J =jämn funktion, U =udda funktion: U*J=
Sum(C*rⁿ, n=0..oo)= (|z|<1) C/(1-r)
Harmonisk funktion ekvation, laplace operatorn u''xx+u''yy=0