Funktionsteori
Funktionsteori - en övning gjord av Pontusnord på Glosor.eu.
1. Vik bak högra delen av pappret så att svaren inte syns.
2. Skriv ner svaren på frågorna i utrymmet under dem.
3. Vik tillbaka pappret och rätta genom att jämföra med svaren till höger.
C*(1-r^N+1)/(1-r) Geometrisk summa; Sum(C*r^k, k=0..k=N)=
u'x=v'y, u'y=-v'x CauchyRiemans ekvationer f(x, y)= u(x, y)+iv(x, y) (ekv 1, ekv 2)
Om f(z) har en hävbar singularitet i z=c Res z=c(f(z))= 0
konstant Om f är holomorf på hela C och är begränsad. Då måste f vara
Skriv som sinus av x; k st vanliga perioder över 2π = sin(k*x)
z^a= e^a*log(z)
(|)Definitionen av en pol av f(z) i punkten c lim z->c(|f(z)|)=oo
Ekvation för punktvis konvergens. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie f=lim x->oo(fₓ)
Om lösningen till den inhomohena ekvationen är en dubbelrot så multiplicerar man in n²
Tillvägagångs sätt för att skrivaom f(x, y) till f(z). Sätt y=0 och x=z
Kallas en serie om den är konvergent men ej absolutkonvergent. betingat konvergent
C/(1-r) Sum(C*rⁿ, n=0..oo)= (|z|<1)
oo Om a inte är uppåt begränsad så säger vi att sup M =
Jordans lemma: |I(f(z)*e^iat)| ≤π/a*max|f(z)|
U J =jämn funktion, U =udda funktion: U*J=
J =jämn funktion, U =udda funktion: J*J= J
(|) Kriterier för Libniz test (1-3). Partialsumman aₓ aₓ alternerande, |aₓ| avtagande, aₓ->0 då k->oo
1/4*|an/bm|*|z|^n-m ≤|R(z)|
D (K = konvergent serie, D = divergent serie) K+D=
Homogenlösning för dubbelrot r. x_ⁿ= (C₁+n*C₂)*rⁿ
sin(x-y) sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)
sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
(K = konvergent serie, D = divergent serie). K+K= K
cos(x-y) cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y)
konvergent Varje absolutkonvergent serir är
Kallas en funktionsserie om det för varje punkt existerar en potensserie med positiv konvergensradie analytisk
(a k)= a!/k!*(a-k)!
1/(1+x²) D(arctan(x))=
C₁*r₁ⁿ+C₂*r₂ⁿ Homogenlösning för enkelrötterna r₁ och r₂. x_ⁿ=
L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) > 0 Och bₓ divergent => aₓ divergent
lim x->oo(sup(|fₓ-f|))=0 Ekvation för likformigt konvergent. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie
|R(z)| ≤ 4*|an/bm|*|z|^n-m
ln(|z|)+iarg(z) (|) log(z)=
konvergent L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) < +oo. Och bₓ konvergent => aₓ
Konvergensradien för en holomorf funktion är närmaste avståndet till en singularitet
sluten, holomorf Om en kurvintergral är noll och inte överskrider dess poler är kurvan XX och f YY på hela området (XX, YY)
J =jämn funktion, U =udda funktion: U*U= J
|uₓ(x)|≤Mₓ (|)Weiestrass M-test: Sum(Mₓ) konvergerar. Sum(uₓ(x)) konvergerar likformigt om
cos(x+y)= cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
u''xx+u''yy=0 Harmonisk funktion ekvation, laplace operatorn
(K = konvergent serie, D = divergent serie) D+D= vet ej
Fourierserier, vänste och högerderivator existerar i x =t. FS = 1/2*(f(t+0)+f(t-0))