Funktionsteori
Funktionsteori - en övning gjord av Pontusnord på Glosor.eu.
1. Vik bak högra delen av pappret så att svaren inte syns.
2. Skriv ner svaren på frågorna i utrymmet under dem.
3. Vik tillbaka pappret och rätta genom att jämföra med svaren till höger.
1/(1+x²) D(arctan(x))=
e^a*log(z) z^a=
1/4*|an/bm|*|z|^n-m ≤|R(z)|
Harmonisk funktion ekvation, laplace operatorn u''xx+u''yy=0
1/2*(f(t+0)+f(t-0)) Fourierserier, vänste och högerderivator existerar i x =t. FS =
Jordans lemma: |I(f(z)*e^iat)| ≤π/a*max|f(z)|
C₁*r₁ⁿ+C₂*r₂ⁿ Homogenlösning för enkelrötterna r₁ och r₂. x_ⁿ=
cos(x-y) cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y)
lim x->oo(sup(|fₓ-f|))=0 Ekvation för likformigt konvergent. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie
(K = konvergent serie, D = divergent serie). K+K= K
(|) log(z)= ln(|z|)+iarg(z)
f=lim x->oo(fₓ) Ekvation för punktvis konvergens. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie
Geometrisk summa; Sum(C*r^k, k=0..k=N)= C*(1-r^N+1)/(1-r)
Homogenlösning för dubbelrot r. x_ⁿ= (C₁+n*C₂)*rⁿ
Kallas en funktionsserie om det för varje punkt existerar en potensserie med positiv konvergensradie analytisk
sin(x-y) sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)
Sum(C*rⁿ, n=0..oo)= (|z|<1) C/(1-r)
(|)Weiestrass M-test: Sum(Mₓ) konvergerar. Sum(uₓ(x)) konvergerar likformigt om |uₓ(x)|≤Mₓ
a!/k!*(a-k)! (a k)=
divergent L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) > 0 Och bₓ divergent => aₓ
Skriv som sinus av x; k st vanliga perioder över 2π = sin(k*x)
konstant Om f är holomorf på hela C och är begränsad. Då måste f vara
aₓ alternerande, |aₓ| avtagande, aₓ->0 då k->oo (|) Kriterier för Libniz test (1-3). Partialsumman aₓ
0 Om f(z) har en hävbar singularitet i z=c Res z=c(f(z))=
U J =jämn funktion, U =udda funktion: U*J=
J =jämn funktion, U =udda funktion: J*J= J
n² Om lösningen till den inhomohena ekvationen är en dubbelrot så multiplicerar man in
J J =jämn funktion, U =udda funktion: U*U=
CauchyRiemans ekvationer f(x, y)= u(x, y)+iv(x, y) (ekv 1, ekv 2) u'x=v'y, u'y=-v'x
(K = konvergent serie, D = divergent serie) K+D= D
konvergent L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) < +oo. Och bₓ konvergent => aₓ
Kallas en serie om den är konvergent men ej absolutkonvergent. betingat konvergent
sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
oo Om a inte är uppåt begränsad så säger vi att sup M =
Konvergensradien för en holomorf funktion är närmaste avståndet till en singularitet
|R(z)| ≤ 4*|an/bm|*|z|^n-m
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) cos(x+y)=
Om en kurvintergral är noll och inte överskrider dess poler är kurvan XX och f YY på hela området (XX, YY) sluten, holomorf
Tillvägagångs sätt för att skrivaom f(x, y) till f(z). Sätt y=0 och x=z
(|)Definitionen av en pol av f(z) i punkten c lim z->c(|f(z)|)=oo
(K = konvergent serie, D = divergent serie) D+D= vet ej
Varje absolutkonvergent serir är konvergent